柏松分布的概率函数为$P(X=k)=\frac{x^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,…$，其中$\lambda$是单位时间（单位面积或单位体积）内随机事件的平均发生次数，上式子表示在观察得到事情平均发生$\lambda$的条件下，实际发生k次的概率
$E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k.\frac{(\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda}$
$=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\lambda)^{k-1}}{(k-1)!}.\lambda$
$=\lambda.e^{-\lambda}.e^{\lambda}$
$=\lambda$
$E(X^{2})=E[X(X-1)+X]$
$=E[X(X-1)]+E(X)$
$=\sum_{k=0}^{+\infty}k(k-1).\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+\lambda$
$=\lambda^{2}e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda$
$=\lambda^{2}e^{-\lambda}e^{\lambda}+\lambda$
$=\lambda^{2}+\lambda$
$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^2$
$=\lambda$
